(Ciencias
de Joseleg)(Química)(La materia)(El átomo
físico cuántico)(Ejercicios resueltos)(Introducción)(La caída de la teoría atómica clásica)(La luz entre Planck y Einstein)(El modelo matemático del átomo de Bohr)(Conceptos del átomo de Bohr)(El modelo atómico de Sommerfeld)(El modelo atómico moderno)(Las formas de los orbitales)( Impacto y paradojas del
modelo atómico moderno)(Configuraciones electrónicas)(Referencias bibliográficas)(Versión documento word)
El modelo mecánico cuántico ondulatorio es el epítome de
todos los modelos atómicos, y representa la forma moderna con la que los
científicos “visualizan” al átomo, sin embargo, existe un problema fundamental
en la visualización de dicho átomo. Aun cuando a partir de la ecuación
tridimensional de Schrödinger pueden aproximarse las formas de los diferentes
orbitales y que cualquiera pensaría que la forma del átomo se desprendería de
la simple superposición de las formas de dichos orbitales, tal como hacemos con
las órbitas en modelos anteriores, los físicos y los químicos modernos aún se
encuentran debatiendo sobre la realidad física de los orbitales.
Figura 23. Príncipe Louis-Victor Pierre Raymond de
Broglie (1892-1987) séptimo duque de Broglie, y par de Francia. Fue un físico francés conocido
a veces en castellano como Luis de Broglie. Pertenecía a una de las familias
más distinguidas de la nobleza francesa, y era el séptimo duque de Broglie, originario
del Piamonte. El apellido original italiano, Broglia, fue adaptado al francés
en 1654, por el fundador de la Casa de Broglie. Sus antepasados habían
destacado en la política, la diplomacia o el ejército. Cursó estudios de física
teórica en la Sorbona, así como de historia de Eslovenia, pues pensaba
utilizarlos en su carrera diplomática. A los dieciocho años, después de
terminar un trabajo de investigación histórica, se decidió a estudiar física,
doctorándose en 1924. Fue profesor de física teórica en la Universidad de París
(1928), en el Instituto Henri Poincaré, hasta 1962. Miembro de la Academia de
Ciencias (1933) y de la Academia Francesa (1943), secretario permanente de la
Academia de Ciencias (1942) y consejero de la Comisión de Energía Atómica Francesa
(1945). Fue galardonado en 1929 con el Premio Nobel de Física, por su
descubrimiento de la naturaleza ondulatoria del electrón, conocida como
hipótesis de Broglie. También recibió la Legión de Honor, en 1961 fue nombrado
Caballero de la Gran Cruz de la Legión de Honor. Louis-Victor de Broglie
sugirió un laboratorio multinacional, un sugerencia que llevado a Organización
Europea para la Investigación Nuclear (CERN). De Broglie considera como un
cofundador de CERN.
De cierta forma nos pasa como a Planck con su hipótesis
cuántica, el solo hecho de que las matemáticas funcionen, no implica que la
entidad matemática represente alguna estructura real, por lo que las formas
para los orbitales simplemente son la respuesta matemática de una ecuación, lo
que nos lleva nuevamente al punto de partida, en la actualidad el átomo se
visualiza como un conjunto de ecuaciones matemáticas frías que no tienen
interés en generar un modelo visual del átomo que sea fácilmente digerible por
la cultura popular. Sin embargo, a medio camino de la formulación de este
modelo se generó lo que tal vez sea el último modelo dibujable gracias a la
hipótesis de de Broglie.
Por otro lado, el
modelo del átomo moderno no puede ser adjudicado a un solo autor en concreto
como si lo hemos hecho en modelos anteriores, tal vez la figura más prominente
sea Erwin Schrödinger y algunas veces lo referenciemos simplemente como el
modelo de Schrödinger, pero a este modelo sirvieron las investigaciones de
muchos autores, y tal vez la imagen más representativa sea la foto de la quinta
conferencia de Solvay.
En 1924 el estudiante de doctorado
Louis-Victor-Pierre-Raymond, séptimo duque de Broglie propuso en su tesis de
doctorado que el comportamiento dual de la luz también podía ser aplicado a los
electrones. Esta sugerencia era altamente especulativa debido a que ningún
experimento se había encontrado con tal fenómeno aún. ¿Que lo llevó a esta idea
tan extraña? Fue como un relámpago que vino de la nada.
Después de la primera guerra mundial de Broglie pasó mucho
tiempo pensando a cerca de la naturaleza dual de la luz expuesta de forma
matemática por parte de Planck, Einstein y Bohr. Entonces simplemente se le
ocurrió la idea de girar el problema y aplicar el mismo dualismo a los
electrones. Ayunque esas son de hecho las palabras de de Broglie evidentemente
no lo sacaba del sobrero, la relación entre electrones y cuantos de luz había
sido demostrado empírica y matemáticamente años antes gracias al trabajo de
Einstein y colaboradores a cerca del efecto fotoelectrico de los metales. Dado
que el universo visible consiste en materia y ondas electromagnéticas, de
Broglie afirmó que los electrones podían comportarse como ondas, en búsqueda de
una teoría de gran simetría del todo. De hecho, la hipótesis de de Broglie era
por mucho más general, y establecía que toda partícula acelerada poseía una
función de onda asociada.
Estas fórmulas matemáticas sentaron la base de la mecánica
de ondas, es decir una rama de la física que estudia las partículas como si se
tratara de ondas. Las ideas de de Broglie eran sugestivas, pero encontraron
problemas rápidamente. En cualquier caso, las ideas de de Broglie creaban dos
conclusiones, la primera era que el modelo atómico de Bohr Sommerfeld debía
representar al electrón con una naturaleza ondulatoria y la segunda era que
experimentalmente los electrones debían manifestar la propiedad de las ondas de
luz conocida como difracción al someterse a un experimento de doble rendija
donde pudiera observarse un patrón de interferencias.
Aunque de vida corta, este modelo del átomo representaba
como ondas que se extendían estacionariamente alrededor de la órbita de un
átomo de Bohr-Sommerfeld, la analogía más cercana era la de tener una órbita
hecha de un anillo metálico que se golpeaba con un martillo, lo cual provocaba
una vibración a lo largo de todo el anillo. En el caso del modelo atómico el
anillo era el propio electrón que ondulaba formando la órbita. Aunque rara,
esta imagen del átomo puede encontrarse en algunas fuentes didácticas como en
el capítulo de Cosmos, una aventura de tiempo y espacio “Las Hermanas del Sol” (Hanich et al., 2014). El único problema es que la
onda-electrón se seguía representando de forma plana.
Figura 24. Modelo atómico de
Broglie-Bohr-Sommerfeld En este caso la órbita no es un carril imaginario, sino la
distribución de un electrón, pero este electrón no se modela como un proyectil,
sino como una onda estacionaria que se extiende por toda la órbita.
Este es tal vez el modelo atómico más cercano a la
interpretación moderna, que puede ser captada por alguien adaptado únicamente a
los átomos de Rutherford, ya que después de que los matemáticos se apoderaran
del átomo, este se convertiría en un conjunto de ecuaciones frías con pocas
intenciones de representar entidades reales, cuestión que molestaría a de
Broglie hasta la médula.
Luis de Broglie se encontró rápidamente con un problema
fundamental de su hipótesis de doctorado justo durante su defensa de tesis ante
uno de sus evaluadores Jean Perrin, el problema radicaba en la posibilidad de
medir la naturaleza ondulatoria de los electrones. El comportamiento
ondulatorio de la materia no se observa fácilmente, en el mundo macroscópico la
materia se comporta como una onda o como una partícula, pero no existen
intermedios, un proyectil al viajar sigue siendo un proyectil, no se transforma
súbitamente en un rayo de plomo. Entonces, si de Broglie tenía razón, ¿porque
no se había observado la onda asociada de cualquier partícula acelerada?
Para responder esta pregunta hay que tener en cuenta que la
naturaleza ondulatoria de la luz también había sido pasada por alto hasta el
desarrollo de un modelo experimental de doble rendija de un tamaño suficiente
para concordar con las cortas longitudes de onda de la luz visible. Si las dos
rendijas del experimento de doble rendija son muy grandes y se encuentran
demasiado alejadas unas de otras en comparación con la longitud de la onda que se
pretende difractar no se va a observar nada interesante.
Para que la difracción pueda observarse, el tamaño de la
doble rendija debe ser del mismo o menor orden de magnitud que la longitud de
onda, y para la luz estamos hablando del orden de los cientos de nanómetros. En
consecuencia, el experimento de la doble rendija para la luz requería
cristales, dado que las ondas electrónicas vibran en longitudes de rayos x se
requería aún mejores tecnologías que apenas estaban surgiendo en otro
continente mientras de Broglie planteaba sus ideas.
En una nota breve de agosto de 1925 Walter Elsasser de forma
independiente a de Broglie propuso que la naturaleza ondulatoria de los
electrones podría detectarse si se los hacia pasar a baja velocidad por medio
de una tecnología de cristales actuando como la doble rendija. Debemos recordar
que en esta época las publicaciones de las revistas especializadas eran algo un
poco más lento y de círculos cerrados, las revistas eran publicadas por miembros
de los mismos círculos universitarios y debían transmitirse casi de que boca en
boca a medida que los científicos viajaban o entablaban correspondencia con
otros científicos durante las convenciones.
El asunto quedaría saldado hasta 1927 cuando Davisson y
Germer se encontraban estudiando la reflexión de electrones desde un objetivo
de níquel en los laboratorios de industrias Bell “que prestaban el servicio de
telefonía en USA”. Davisson y Germer no
tenían idea de que los electrones pudieran comportarse como ondas debido a que
no tuvieron contacto con Elsasser o con de Broglie, aunque sí que se
encontraron de frente con dicho fenómeno.
Después de calentar el objetivo de níquel para remover la
capa de óxido que se había acumulado por accidente después de que se rompiera
su sistema de vacío, encontraron una dispersión de electrones que mostraba
máximos y mínimos, es decir una difracción electrónica. La superficie de su
objetivo de níquel se había enfriado y en el proceso había generado cristales
relativamente grandes. Reconociendo la importancia de este afortunado hallazgo,
prepararon un objetivo compuesto de un único cristal y estudiaron la difracción
electrónica generada por el.
No tocaremos las cuestiones matemáticas del asunto, sin
embargo, si hay que recalcar que los descubrimientos experimentales del
experimento de Davisson y Germer demostraron dos cosas, la primera era que la
idea esencial de de Broglié era correcta, y segundo que las ecuaciones de de
Broglie también lo eran, así los cálculos que había hecho de Broglie
anteriormente ajustaron casi perfectamente con los datos experimentales.
De esta manera se llegó a una conclusión experimental y
teórica con profundas implicaciones para los modelos del átomo, cuando una
partícula con masa real se mueve a velocidades cercanas a la de la luz
manifestará su onda asociada o sus propiedades ondulatorias. Tan solo tres años
más tarde se demostraría que partículas con mayor masa como los núcleos de
helio manifiestan también propiedades ondulatorias. Sin embargo, tan pronto la
hipótesis de de Broglie fue aceptada, ahora quedaba el problema de describir al
electrón, con sus cuatro estados cuánticos en términos ya no de partículas,
sino de ondas estacionarias alrededor del núcleo.
Bueno, si el electrón se describe como una onda
estacionaria, entonces, ¿qué deberíamos saber de las ondas estacionarias?
Una vez solucionado el cuestionamiento de si los electrones
se comportan como ondas, quedaba el problema de reinterpretar el modelo del
átomo de Bohr-Sommerfeld a una nueva escala, una escala no bidimensional, pero
las matemáticas involucradas se le escapaban a personajes como de Broglie. Dado
que el objeto del presente curso es meramente introductorio y descriptivo dejaremos
la mayoría de las fórmulas de lado y nos enfocaremos lo más posible en los
conceptos y el desarrollo histórico.
Ya sabemos que los electrones se comportan como ondas, la
cuestión es ¿Qué tipo de ondas?, hasta este punto hemos visto de tipo viajero,
tales como las ondas mecánicas del sonido o las del agua, u ondas
electromagnéticas como la luz, todas ellas comparten el hecho de que se generan
en un punto y se desplazan indefinidamente hasta que se dispersan totalmente y
se vuelven imperceptibles debido al efecto Doppler.
Sin embargo, existen otros tipos de onda, las ondas que no
se desplazan, a estas ondas las denominamos estacionarias, como las ondas de la
cuerda de una guitarra, las cuales tienen puntas fijas. Las ondas estacionarias
son la clave del asunto ya que el modelo del átomo de hidrógeno con la
interpretación de de Broglie implica que el electrón se dispersa
ondulatoriamente en lo que sería su “órbita”.
Figura 25. Ondas de materia. Las vibraciones de una onda
estacionaria genera lóbulos o máximos y nodos o mínimos dependiendo de la
energía asociada y su armonicidad, a mayor energía más lóbulos.
Las ondas estacionarias también exhiben otros tipos de
comportamiento familiar como lo podemos apreciar en la imagen lateral. A medida
que incrementamos la energía el patrón ondulatorio cambia de forma cuantizadas
desde n= 1 hasta un tope máximo que depende de la energía aplicada.
Adicionalmente las ondas estacionarias nos muestran otra característica que
será importante posteriormente, y es la presencia de máximos de onda que
llamaremos lóbulos y mínimos de onda que llamaremos nodos.
El éxito de las relaciones de de Broglie en predecir el
comportamiento de los electrones sometidos a un experimento de doble rendija, y
la realización de que las ondas estacionarias generan un comportamiento
cuantizados, impulsó el desarrollo de una teoría ondulatoria para los
electrones que fuera análoga a la teoría ondulatoria de la luz. Lamentablemente
la habilidad matemática para lograrlo se le escapó a de Broglie, y en
consecuencia nuestra historia salta a dos autores diferentes, Erwin Schrödinger
y Werner Heisenberg.
Los primeros años de la carrera de Schrödinger se basaron en
familiarizarse con las ideas de la mecánica cuántica que ya llevaban casi 15
años circulando en las comunidades científicas gracias al trabajo de los
cuánticos de primera generación como Planck, Einstein, Bohr y Sommerfeld y
muchos otros. Este conocimiento le permitió desarrollar su trabajo en algunos problemas
de física teórica, aunque el físico austriaco aún no estaba preparado para
alejarse de los métodos tradicionales de la física clásica.
Sus primeros trabajos importantes fueron publicados pocos
años después de finalizada la primera guerra mundial. Durante estos años se
dedicó a afianzar su carrera profesional y adquirir una plaza en la prestigiosa
universidad de Zurich. En 1921 Schrödinger terminó su primer artículo sobre la
teoría atómica y los fenómenos cuánticos, específicamente un marco de referencia
a la interacciones de los electrones en el modelo atómico de Bohr-Sommerfeld
así como algunos aspectos del comportamiento de los espectros de los metales
alcalinos.
Figura 26. Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887–1961) fue un físico y filósofo
austríaco, naturalizado irlandés, que realizó importantes contribuciones en los
campos de la mecánica cuántica y la termodinámica. Recibió el Premio Nobel de
Física en 1933 por haber desarrollado la ecuación de Schrödinger, compartido
con Paul Dirac. Tras mantener una larga correspondencia con Albert Einstein
propuso el experimento mental del gato de Schrödinger que mostraba las
paradojas e interrogantes a los que abocaba la física cuántica.
De particular importancia para él fue la introducción de las
ideas relativistas en la teoría cuántica. En 1922 analizó lo que hasta entonces
se describirá como orbitas clásicas elípticas bidimensionales desde un punto de
vista geométrico, usando métodos desarrollados por el matemático Herman Weyl y
desde entonces el átomo dejaría de ser una entidad plana. Este trabajo que
mostraba como las “órbitas cuánticas” se encontraban asociadas a ciertas
propiedades geométricas fue un paso importante en la predicción del
comportamiento de la mecánica de las ondas estacionarias de los electrones
alrededor del núcleo.
Hacia finales de 1926 Schrödinger publicó una serie de
artículos prestigiosos entre los cuales se encontraba la formulación de la
actualmente famosa ecuación de la onda, que lleva su nombre, la ecuación de
Schrödinger (Schrödinger, 1926c, 1926b, 1926a). Algunos meses antes Werner
Heisenberg había publicado una teoría aparentemente diferente para explicar los
mismos fenómenos cuánticos del átomo. Eventualmente Schrödinger demostró que
ambas teorías eran equivalentes, en el sentido de que ambas podían derivarse
mutuamente a partir de su contraparte. Esta demostración puede parecer extraña
a nosotros ya que las habilidades matemáticas para resolver incluso el más
simple de estos problemas son enormes. Este detalle resalta un detalle que se
menciona en el documental el universo mecánico y más allá (Blinn & Goodstein, 1985), para poder describir el
átomo con precisión los físicos debieron sacrificar en el altar de la ciencia
la posibilidad de poseer una imagen intuitiva del átomo. A partir de aquí el
dibujar un átomo se haría innecesario e imposible, los átomos de aquí en
adelante se convertirían en una colección de ecuaciones matemáticas con pocas
intenciones de generar una imagen análoga a alguna entidad real.
Por esa razón hacemos ejercicios de lápiz y papel para
dibujar el átomo de Bohr, pero no para dibujar el de Schrödinger. En cualquier
caso, de las dos teorías del átomo cuántico ondulatorio la más sencilla de
entender, si es que podemos usar esa expresión, es la del propio Schrödinger,
por eso es la más empleada, aunque del trabajo de Heisenberg se resaltan
algunos conceptos importantes como el principio de incertidumbre.
En 1925 Schrödinger publicó su primer artículo “cuantización
del problema del eigenvalor” en la cual se presenta su célebre ecuación. Este
artículo es importante ya que muestra la solución cuántica completa para el
átomo de hidrógeno, nuevamente el mismo elemento por el cual tuvo que iniciar
debido a su simplicidad. Este artículo ha sido universalmente celebrado como
uno de los logros más importantes de la mente humana en el siglo XX, creando
una revolución en áreas como la física y la química aplicadas. Un segundo
artículo fue publicado solo cuatro semanas después para resolver el problema
del oscilador armónico cuántico, el rotor rígido y la molécula diatómica de
hidrógeno, esta última lograría la primera descripción cuántica del enlace
covalente. El tercer artículo demostró la equivalencia con la propuesta de
Heisenberg. El último artículo ajustaba la complejidad matemática de la física
cuántica de modo que las ecuaciones tuvieran órdenes de magnitud manejables
(Schrödinger, 1926a, 1926b, 1926c). Estos artículos fueron el más grande logro
de Erwin Schrödinger y la razón por la cual es recordado como uno de los más
grandes físicos del siglo XX a la altura de Albert Einstein.
Poco después los problemas comenzaron, al igual que Planck
el hecho de que las matemáticas cuadraran creaba conclusiones que el mismo
Schrödinger no podía aceptar totalmente, una de estas conclusiones se resume en
la archiconocida paradoja del gato cuántico en la caja o el gato de
Schrödinger.
En la
sección anterior mencionamos que Schrödinger logró resolver completamente el
problema del hidrógeno atómico y del hidrógeno molecular, pero no mencionamos
al resto de la tabla periódica, ¿será acaso que el tan prestigiado modelo
mecánico cuántico solo logra explicar al hidrógeno? Y de ser así ¿de dónde
salen las soluciones para la ecuación de onda que genera algunas
interpretaciones famosas de los números cuánticos?
Para todos los
átomos excepto el hidrógeno, la ecuación de Schrödinger no puede resolverse con
exactitud. A pesar de esto, es en el reino de la física de los
átomos donde la ecuación de Schrödinger tiene su mayor éxito, debido a que la
interacción electromagnética de los electrones entre unos y otros y con el
núcleo atómico puede entenderse con facilidad.
De hecho, la ecuación aun cuando no da resultados exactos si
puede arrojar resultados aproximados o probables empleando métodos de
aproximación, o en nuestro caso con el acceso a poderosas herramientas
informáticas, a simulaciones computarizadas para problemas cada vez más
complejos. La precisión de las respuestas aproximadas para fenómenos
experimentales es suficiente como para convertir a la ecuación de Schrödinger
en una herramienta supremamente útil para poder describir a la realidad en
términos matemáticos, lo cual es en ultimas el objetivo de las ciencias de la
naturaleza desde los tiempos de Robert Boyle.
Evidentemente Schrödinger no tenía acceso a
supercomputadoras, ni siquiera a una calculadora de panadero como llamamos en
la actualidad a los más elementales de estos aparatos, pero los métodos de
aproximación si eran accesibles, y de hecho la solución para el problema del
hidrógeno le dio la clave a Schrödinger para poder formularlos, de lo contrario
su teoría hubiera sido limitada tal como le paso al átomo de Bohr.
El modelo cuántico de Bohr es una imagen del átomo como un
núcleo con electrones orbitando a su alrededor, el electrón al ser un proyectil
posee cosas como cantidad de movimiento, dirección, velocidad y ubuicación, en
el papel sería posible averiguar todo a cerca de este electrón clásico. Pero
cuando un electrón es una onda que se encuentra disperso en toda la órbita la
situación es complicada, la onda existe en toda la órbita al mismo tiempo, con
mayor intensidad en sus máximos y menor en sus mínimos, pero no tiene una
ubicación clara o una velocidad, ni mucho menos una dirección. Esto es una
consecuencia del principio de incertidumbre, otra de las propiedades de las
partículas de tamaño atómico que, como las ondas, no tienen analogía en el
mundo macroscópico de pelotas y canicas.
Un año después de la hipótesis de de Broglie, Werner
Heisenberg postuló el principio de incertidumbre. El principio de incertidumbre establece que
es imposible determinar simultáneamente la posición y la velocidad de un
electrón, ya que como onda un electrón no poseería una posición definida en el
espacio, y una dirección tampoco ya que las ondas estacionarias son
precisamente eso, estacionarias. Lo mejor que se puede hacer para intentar
encontrar un electrón alrededor de un núcleo es determinar su probabilidad de
posicionamiento, es decir, la probabilidad de que en cierto espacio se
encuentre el electrón la mayor cantidad del tiempo, y con encontrar no nos
referimos a que la partícula electrónica esté allí realmente, sino a la
posibilidad de aislar al electrón al colapsar su función de onda por medio de
alguna intervención en su sistema.
De esta manera, tan el modelo ondulatorio de de Broglie como
el principio de incertidumbre de Heisenberg terminaron por sepultar los
intentos de describir “trayectorias” de los electrones a través del núcleo,
“tal y como el modelo de Bohr lo había estado describiendo hasta
entonces". En palabras que cualquier aficionado a los modelos planetarios
del átomo pueda entender, no hay órbitas que sigan los electrones, ni siquiera
podemos decir que los electrones se muevan alrededor del volumen, estos bien
pueden cuantizarse de un lugar a otro todo el tiempo y lo único que podemos
hacer es aproximar una respuesta, y debido a que la cuantización es aleatoria
hay que emplear estadística.
La pregunta que surgía era ¿si no son órbitas, que es lo que
Bohr y otros habían estado modelando y refiriendo como el número cuántico
principal (n), el número azimutal (l), el número magnético (ml) y el número de
rotasión (ms)?
Hemos llegado al punto en que debemos abandonar
definitivamente el modelo mecánico que describe a los electrones girando
alrededor del núcleo como si se tratara de un sistema solar. Los electrones se
describen como ondas, y cuando se particulizan, lo hacen en posiciones cuyo
espacio se describe, no como una trayectoria, si no como una posición fija en
un volumen probable tridimensional, volumen que será descrito por la forma
tridimensional de la ecuación de Schrödinger.
Figura 27. Max Born (1882–1970) fue un matemático y físico
alemán. Obtuvo el Premio Nobel de Física en 1954 por sus trabajos en mecánica
cuántica y compartió este galardón con el físico alemán Walter Bothe.
Posiblemente, la contribución más conocida a la física cuántica sea su
interpretación probabilística de la función de Onda de Schrödinger. Según la
misma, el cuadrado de la amplitud de dicha función es igual a la densidad de
probabilidad del estado. Por ejemplo, en el caso de una función de onda que
describa la posición de un electrón, el cuadrado de la amplitud será igual a la
probabilidad de encontrar a dicho electrón en una posición determinada.
A diferencia de los demás modelos atómicos, el modelo moderno posee una imagen muy variable y que deriva exclusivamente de la resolución de la ecuación de Schrödinger para los tres primeros números cuánticos, la solución es tridimensional, es decir con forma de volúmenes, o como dirían mis estudiantes una fiesta de globos, que veremos en la siguiente sección.
