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martes, 22 de junio de 2021
El modelo matemático del átomo de Bohr
(Ciencias de Joseleg)(Química)(La materia)(El átomo físico cuántico)(Ejercicios resueltos)(Introducción)(La caída de la teoría atómica clásica)(La luz entre Planck y Einstein)(El modelo matemático del átomo de Bohr)(Conceptos del átomo de Bohr)(El modelo atómico de Sommerfeld)(El modelo atómico moderno)(Las formas de los orbitales)( Impacto y paradojas del modelo atómico moderno)(Configuraciones electrónicas)(Referencias bibliográficas)(Versión documento word)
El modelo atómico de Bohr fue propuesto en la primera mitad
de la década de 1910 y su forma definitiva fue alcanzada en 1913. El modelo de
Bohr inició prácticamente de forma inmediata a la propuesta del modelo de
Rutherford de 1911, y trató sobre la solución del problema del electrón. Como
mencionamos anteriormente el modelo atómico de Rutherford se basó
principalmente en la propuesta de la existencia de un núcleo superdenso de
carga positiva y que portaba la mayor parte de la masa de un átomo, tanta
densidad de masa provocaba un momento cinético colosal que le permitía
dispersas las partículas alfa en el experimento de la doble rendija, sin
embargo, las partículas alfa no interactuaban de forma alguna con los
electrones.
Figura 14. Niels Henrik David Bohr (1885-1962) Fue un físico danés que realizó
contribuciones fundamentales para la comprensión de la estructura del átomo y
la mecánica cuántica. Fue galardonado con el Premio Nobel de Física en 1922.
Los electrones poseen una masa irrisoria, comparados con un
protón, por lo que su momento cinético era insignificante, como consecuencia el
experimento de la lámina de oro no tiene nada que decir sobre ellos, y al mismo
tiempo el modelo de Rutherford no los trató de forma precisa. En los dos años
en que duro en vigencia el modelo de Rutherford una colección de datos raros
que no concordaban con una visión clásica del átomo comenzaron a ser tenidos
realmente en cuenta, y muchos de ellos trataban con la relación entre los
electrones, los átoimos y algunos extraños comportamientos de la luz que
describimos en el capítulo anterior.
El modelo atómico de Bohr dejaría intacta la idea del
núcleo, y en consecuencia el modelo del átomo general se parte o bifurca en dos
historias. La primera de estas historias fue el modelo del núcleo que tuvo su
momento de más fama con el desarrollo de la tecnología nuclear, tema que ya
trabajamos en capítulos anteriores. A continuación, trabajaremos la segunda
historia, los electrones, como estos dieron origen a una nueva física, y a una
nueva química, por medio de la mecánica cuántica.
Las bases de la mecánica cuántica yacen en el trabajo de
Planck y su solución para el problema de la radiación del cuerpo negro, sin
embargo, no lo recordamos con tanto prestigio como a Bohr por una razón, Planck no creyó
en la realidad de sus propios resultados. Debido al proceso que
realizó para la obtención de la formula Planck pensaba que su trabajo solo era
una ecuación descriptiva y no una ley profunda del universo que nos afectaría a
todos.
La ley de Planck sobre la cuantización energética de la luz
fue obtenida empíricamente, es decir una fórmula que encajara casi que a la
fuerza con los resultados más que por un proceso deductivo como se había hecho
en la mecánica clásica, pero funcionaba. Al momento en que Planck teme asumir
alguna consecuencia física real de su fórmula su trabajo se detiene, ¿porque
preguntarse sobre la consecuencia de algo que probablemente no existía? Sin
embargo, en 1905 Einstein interpretó el trabajo de Planck de forma realista y
lo empleó para explicar el efecto fotoeléctrico. Esto nos muestra que aun los
significados de los modelos empleados por las fuentes originales se van
transformando a medida que la idea pasa de un autor a otro.
Einstein desarrollo más la idea y demostró que el efecto
fotoeléctrico solo podía validarse si se asumía la idea de Planck como una
realidad física, de aquí en adelante la formula la hipótesis de Planck ajustada
a un cambio de un solo nivel pasaría de ser una ecuación para describir la
energía almacenada en una nueva partícula llamada fotón en caso de ser parte de
la luz visible o un quantum en caso de ser cualquier partícula de radiación electromagnética.
Sin embargo, estas ideas solo se habían relacionado a la
luz, y el efecto fotoeléctrico también relacionaba a la electricidad y por lo
tanto a los electrones que rodean a los átomos de un metal. Como consecuencia
de esto, los electros se convirtieron en la otra parte de la historia que
debería ser afectada por la ley de cuantización de Planck.
En 1913 en físico danés Niels H. D. Bohr propuso un modelo
del átomo de hidrógeno que combinaba el trabajo de Planck, Einstein y
Rutheford, y fue particularmente exitoso en predecir el espectro del
hidrógeno. Cuando Bohr se encontraba
trabajando en el laboratorio de Rutherford durante los experimentos de Geiger y
Marsden realizó la presunción de que el electrón de un átomo de hidrógeno se
movía en una órbita alrededor del núcleo positivo, atraído por una fuerza
análoga a la de la gravedad, pero completamente diferente denominada fuerza
electrostática expresada por la fórmula de la ley de Coulomb.
Aunque en la actualidad el modelo atómico de Bohr es
considerado obsoleto y ha sido reemplazado completamente por el modelo de
probabilidades mecánico cuántico, es posible emplear el modelo atómico de Bohr
para el desarrollo de conceptos como la cuantización de la energía y el
movimiento del electrón, así como a la organización de los electrones alrededor
del núcleo, aspecto fundamental en el entendimiento de las reacciones químicas.
Es importante aclarar que el modelo de Bohr también es un modelo cuántico ya
que introduce la cuantización de Planck, pero sería un paso intermedio del
modelo moderno. Como todo modelo físico, el modelo atómico de Bohr se basó en
una serie de presuposiciones que permite la aplicación de una colección
específica de fórmulas matemáticas:
Los electrones son el foco del modelo de Bohr así como el
núcleo es el foco del modelo del núcleo. En el modelo de Bohr el electrón se
organiza en una órbita plana o bidimensional alrededor del núcleo atraído por
una fuerza de atracción describiendo un movimiento circular uniforme.
No todas las órbitas son permitidas, las órbitas describen
estados cuantizados por números enteros simples n= 1, 2, 3, … Estas órbitas en
contra de las leyes de la física clásica permanecerán sin emitir radiación
electromagnética a menos que el electrón sufra una alteración energética. En
otras palabras, a medida que el electrón órbita su núcleo no interactúa
lumínicamente.
Sin un electrón absorbe una determinada longitud de onda de
luz este salta a un nivel superior de forma cuántica. El concepto del salto
cuántico es similar al de la tele-transportación de Son Goku.
Figura 15. El salto cuántico implica la transferencia de
una partícula entre dos puntos del espacio sin recorrer todos los puntos
intermmedios. Los saltos cuánticos son algo compun en partículas subatómicas
como los electrones, pero a medida que la materia se asocia y se hace mas
masiva, esta propiedad desaparece.
Una partícula clásica debe desplazarse por el espacio de
forma continua de forma tal que pueda llegar desde el punto A hasta el punto B.
Sin embargo, la cuantización del desplazamiento de los electrones establece que
un electrón deja de existir en una posición con radio r alrededor del núcleo y
aparecerá de la nada existiendo nuevamente en una nueva posición (nr) donde (n)
representa cualquiera de las órbitas superiores a la que estaba anteriormente.
Por ejemplo, si el electrón se encontraba en n= 1 aparecerá en n = 2, 3, 4… o
posiblemente escape del radio de atracción del núcleo transformándose en una
corriente eléctrica. Si un electrón emite radiación electromagnética en forma
de una longitud de onda de luz concreta, el electrón dejará de existir en la
órbita en la que esté y aparecerá como de la nada en la nueva órbita. Los
cambios de energía en los saltos cuánticos están dados por la ley de Planck.
Estamos acostumbrados a ver el modelo atómico de Bohr como
un modelo planetario, pero rara vez lo visualizamos en su forma verdadera, un conjunto
de ecuaciones matemáticas que modelan situaciones idealizadas y que luego se
comparan con fenómenos experimentales concretos en el átomo de hidrógeno. La
física clásica había modelado desde hacía mucho tiempo cuerpos de órbitas
circulares atraídos por fuerzas de campo como por ejemplo los planetas
alrededor del Sol atraídos por la gravedad y mantenidos lejos de el en órbitas
cuasi estacionarias gracias a su momento cinético. El físico Johanes Keppler
observó y Einstein demostró que este tipo de órbitas podían ser círculos o
elipses dependiendo de su lejanía con el Sol, pero matemáticamente las órbitas
más fáciles de modelar eran las circulares.
Lo más parecido a la descripción planetaria en objetos muy
pequeños era la ley de Coulomb.
Por esta razón Bohr decidió a
priori crear un modelo circular del electrón con un radio (r). Si
aplicáramos la ley de Coulomb a un átomo de hidrógeno donde (q1) es la carga
del protón y (q2) la carga del electrón, obtenemos que es la misma carga, pero
en sentido opuesto,
Rapidez de un
electrón
Con esto en mente debemos retornar al modelo. Debido a que
Bohr asumió un modelo circular para simplificar, entonces eso significaba que
era posible emplear formulas sencillas del sistema físico llamado movimiento
circular uniforme, uno de los temas más elementales de física clásica que se
enseña en cualquier colegio. Por ejemplo, era posible igualar la fuerza de
coulomb con la fuerza centrípeta donde la masa (m) será la masa del electrón.
Deducción de la rapidez de un electrón.
Con la fórmula anterior podemos despejar las variables
necesarias para obtener la formula clásica de la energía cinética.
Deducción de la energía cinética del electrón.
El tamaño de una órbita permitida es una condición
determinada por el momento angular. Las orbitas permitidas son aquellas cuyo
momento angular es un valor cuantizados que depende de la variable:
En consecuencia, si tenemos la formula clásica del
movimiento angular.
La masa será la masa del electrón y dicho valor será igual a h con barra multiplicado por n, se conoce como la constante de Planck reducida, constante de Dirac o ℏ con barra, su aparición se debe a la aplicación de las leyes del movimiento circular uniforme, donde los valores dependen de la circunferencia completa o 2π. Ahora, lo que sacó a Bohr del atolladero era el hecho de que la constante de Planck para cualquier nivel energético tiene unidades de momento cinético.
La aplicación de la constante de Planck al momento cinético
fue una apuesta, otro truco matemático en palabras de Planck debido a que la
constante de Planck posee unidades de momento cinético aunque había que hacer
la corrección para transformarla en la constante de Dirac.
El radio de la órbita de un electrón para cada nivel
cuántico (n) se presenta por medio de la siguiente deducción. Igualamos las expresiones de momento angular
clásico y cuántico.
Deducción del radio de las órbitaspermitidas.
Esta fórmula estaba basada en la presunción a priori de que (n) solo puede adquirir valores
discretos o cuantizados sin intermedios, en otras palabras, de la aplicación de
la hipótesis de Planck.
De esta forma la órbita con el radio más pequeño
correspondiente a n = 1 o radio de Bohr es un valor que se puede calcular por
medio de todas las constantes:
El radio de Bohr para n = 1 permite emplearlo como una
constante para calcular el radio de cualquier órbita n conocida. Debido a que
esto aplicaba precisamente para átomos con un electrón, naturalmente esto
describiría el tamaño del átomo de hidrógeno y sería próximo al tamaño de
cualquier ion con un solo electrón.
Este modelo matemático permitía una comparación
experimental, el radio del átomo de hidrógeno concordaba en el mismo orden de
magnitud, lo cual fue un tremendo triunfo de su aparato matemático, pero eso no
sería todo.
El cambio de energía entre dos niveles está dado por la
hipótesis de Planck (ΔE=Δn h f).
La energía total del electrón es la energía necesaria para
desplazarlo de su órbita, esta es igual a su energía cinética con signo
negativo.
Se obtiene al combinar la constante de Dirac con la energía
del electrón.
Recuerde que la constante de Rydberg era solo un artefacto
experimental, pero gracias a las hábiles deducciones de Bohr quedó insertada en
el modelo de átomo matemático.
De este modo una constante que había sido completamente
empírica, es decir basada en datos experimentales y un truco matemático en sí
misma, a ser una constante que dependía de entidades reales como la masa del
electrón, su carga y otras constantes universales. El hecho mismo que se deba
emplear la masa y la carga del electrón implicaban que todo el trabajo que se
venía haciendo desde Balmer no era una entelequia, sino que tenía que ver con
entidades físicas que existían realmente.
Cuando Bohr reemplazó sus datos y los comparó con los
experimentales que ya se habían realizado años antes otros científicos, la
coincidencia fue más que asombrosa. Empleando las palabras del documental el
Universo Mecánico, los físicos se vieron obligados a aceptar esta batería de
fórmulas como descriptoras de una realidad, no
porque fueran algo fácil de aceptar, sino porque la coincidencia entre
expectativa matemática y medición experimental era algo más que evidente.
Bohr extendió su modelo del átomo de hidrógeno, pero no del
modo en que generalmente lo aplicamos en los ejercicios de lápiz y papel. En la
extensión de Bohr lo que se buscaba era modelar elementos con un solo electrón,
lo cual representaba a los isótopos del hidrogeno y iones positivos con un solo electrón como el helio(1+), el litio(2+) o el berilio(3+),
los cuales se suponía que debían existir en los núcleos atómicos en estados de
plasma. Bohr demostró que muchas líneas misteriosas de Fraunhofer no
representaban al hidrógeno únicamente sino a otros elementos como el helio(1+).
En general el número de protones en el núcleo se denomina número atómico Z.
Bohr extendió el radio atómico de un átomo mediante la fórmula:
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