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martes, 22 de junio de 2021

Principio de AUFBAU

 


La ecuación de Schrödinger.

 


El modelo matemático del átomo de Bohr

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El modelo atómico de Bohr fue propuesto en la primera mitad de la década de 1910 y su forma definitiva fue alcanzada en 1913. El modelo de Bohr inició prácticamente de forma inmediata a la propuesta del modelo de Rutherford de 1911, y trató sobre la solución del problema del electrón. Como mencionamos anteriormente el modelo atómico de Rutherford se basó principalmente en la propuesta de la existencia de un núcleo superdenso de carga positiva y que portaba la mayor parte de la masa de un átomo, tanta densidad de masa provocaba un momento cinético colosal que le permitía dispersas las partículas alfa en el experimento de la doble rendija, sin embargo, las partículas alfa no interactuaban de forma alguna con los electrones.

Figura 14.   Niels Henrik David Bohr (1885-1962) Fue un físico danés que realizó contribuciones fundamentales para la comprensión de la estructura del átomo y la mecánica cuántica. Fue galardonado con el Premio Nobel de Física en 1922.

Los electrones poseen una masa irrisoria, comparados con un protón, por lo que su momento cinético era insignificante, como consecuencia el experimento de la lámina de oro no tiene nada que decir sobre ellos, y al mismo tiempo el modelo de Rutherford no los trató de forma precisa. En los dos años en que duro en vigencia el modelo de Rutherford una colección de datos raros que no concordaban con una visión clásica del átomo comenzaron a ser tenidos realmente en cuenta, y muchos de ellos trataban con la relación entre los electrones, los átoimos y algunos extraños comportamientos de la luz que describimos en el capítulo anterior.

El modelo atómico de Bohr dejaría intacta la idea del núcleo, y en consecuencia el modelo del átomo general se parte o bifurca en dos historias. La primera de estas historias fue el modelo del núcleo que tuvo su momento de más fama con el desarrollo de la tecnología nuclear, tema que ya trabajamos en capítulos anteriores. A continuación, trabajaremos la segunda historia, los electrones, como estos dieron origen a una nueva física, y a una nueva química, por medio de la mecánica cuántica.

Las bases de la mecánica cuántica yacen en el trabajo de Planck y su solución para el problema de la radiación del cuerpo negro, sin embargo, no lo recordamos con tanto prestigio como a Bohr por una razón, Planck no creyó en la realidad de sus propios resultados. Debido al proceso que realizó para la obtención de la formula Planck pensaba que su trabajo solo era una ecuación descriptiva y no una ley profunda del universo que nos afectaría a todos.

La ley de Planck sobre la cuantización energética de la luz fue obtenida empíricamente, es decir una fórmula que encajara casi que a la fuerza con los resultados más que por un proceso deductivo como se había hecho en la mecánica clásica, pero funcionaba. Al momento en que Planck teme asumir alguna consecuencia física real de su fórmula su trabajo se detiene, ¿porque preguntarse sobre la consecuencia de algo que probablemente no existía? Sin embargo, en 1905 Einstein interpretó el trabajo de Planck de forma realista y lo empleó para explicar el efecto fotoeléctrico. Esto nos muestra que aun los significados de los modelos empleados por las fuentes originales se van transformando a medida que la idea pasa de un autor a otro.

Einstein desarrollo más la idea y demostró que el efecto fotoeléctrico solo podía validarse si se asumía la idea de Planck como una realidad física, de aquí en adelante la formula la hipótesis de Planck ajustada a un cambio de un solo nivel pasaría de ser una ecuación para describir la energía almacenada en una nueva partícula llamada fotón en caso de ser parte de la luz visible o un quantum en caso de ser cualquier partícula de radiación electromagnética.

Sin embargo, estas ideas solo se habían relacionado a la luz, y el efecto fotoeléctrico también relacionaba a la electricidad y por lo tanto a los electrones que rodean a los átomos de un metal. Como consecuencia de esto, los electros se convirtieron en la otra parte de la historia que debería ser afectada por la ley de cuantización de Planck.

En 1913 en físico danés Niels H. D. Bohr propuso un modelo del átomo de hidrógeno que combinaba el trabajo de Planck, Einstein y Rutheford, y fue particularmente exitoso en predecir el espectro del hidrógeno.  Cuando Bohr se encontraba trabajando en el laboratorio de Rutherford durante los experimentos de Geiger y Marsden realizó la presunción de que el electrón de un átomo de hidrógeno se movía en una órbita alrededor del núcleo positivo, atraído por una fuerza análoga a la de la gravedad, pero completamente diferente denominada fuerza electrostática expresada por la fórmula de la ley de Coulomb.

Aunque en la actualidad el modelo atómico de Bohr es considerado obsoleto y ha sido reemplazado completamente por el modelo de probabilidades mecánico cuántico, es posible emplear el modelo atómico de Bohr para el desarrollo de conceptos como la cuantización de la energía y el movimiento del electrón, así como a la organización de los electrones alrededor del núcleo, aspecto fundamental en el entendimiento de las reacciones químicas. Es importante aclarar que el modelo de Bohr también es un modelo cuántico ya que introduce la cuantización de Planck, pero sería un paso intermedio del modelo moderno. Como todo modelo físico, el modelo atómico de Bohr se basó en una serie de presuposiciones que permite la aplicación de una colección específica de fórmulas matemáticas:

Los electrones son el foco del modelo de Bohr así como el núcleo es el foco del modelo del núcleo. En el modelo de Bohr el electrón se organiza en una órbita plana o bidimensional alrededor del núcleo atraído por una fuerza de atracción describiendo un movimiento circular uniforme.

No todas las órbitas son permitidas, las órbitas describen estados cuantizados por números enteros simples n= 1, 2, 3, … Estas órbitas en contra de las leyes de la física clásica permanecerán sin emitir radiación electromagnética a menos que el electrón sufra una alteración energética. En otras palabras, a medida que el electrón órbita su núcleo no interactúa lumínicamente.

Sin un electrón absorbe una determinada longitud de onda de luz este salta a un nivel superior de forma cuántica. El concepto del salto cuántico es similar al de la tele-transportación de Son Goku.

Figura 15.   El salto cuántico implica la transferencia de una partícula entre dos puntos del espacio sin recorrer todos los puntos intermmedios. Los saltos cuánticos son algo compun en partículas subatómicas como los electrones, pero a medida que la materia se asocia y se hace mas masiva, esta propiedad desaparece.

Una partícula clásica debe desplazarse por el espacio de forma continua de forma tal que pueda llegar desde el punto A hasta el punto B. Sin embargo, la cuantización del desplazamiento de los electrones establece que un electrón deja de existir en una posición con radio r alrededor del núcleo y aparecerá de la nada existiendo nuevamente en una nueva posición (nr) donde (n) representa cualquiera de las órbitas superiores a la que estaba anteriormente. Por ejemplo, si el electrón se encontraba en n= 1 aparecerá en n = 2, 3, 4… o posiblemente escape del radio de atracción del núcleo transformándose en una corriente eléctrica. Si un electrón emite radiación electromagnética en forma de una longitud de onda de luz concreta, el electrón dejará de existir en la órbita en la que esté y aparecerá como de la nada en la nueva órbita. Los cambios de energía en los saltos cuánticos están dados por la ley de Planck.

Estamos acostumbrados a ver el modelo atómico de Bohr como un modelo planetario, pero rara vez lo visualizamos en su forma verdadera, un conjunto de ecuaciones matemáticas que modelan situaciones idealizadas y que luego se comparan con fenómenos experimentales concretos en el átomo de hidrógeno. La física clásica había modelado desde hacía mucho tiempo cuerpos de órbitas circulares atraídos por fuerzas de campo como por ejemplo los planetas alrededor del Sol atraídos por la gravedad y mantenidos lejos de el en órbitas cuasi estacionarias gracias a su momento cinético. El físico Johanes Keppler observó y Einstein demostró que este tipo de órbitas podían ser círculos o elipses dependiendo de su lejanía con el Sol, pero matemáticamente las órbitas más fáciles de modelar eran las circulares.

Lo más parecido a la descripción planetaria en objetos muy pequeños era la ley de Coulomb.

Por esta razón Bohr decidió a priori crear un modelo circular del electrón con un radio (r). Si aplicáramos la ley de Coulomb a un átomo de hidrógeno donde (q1) es la carga del protón y (q2) la carga del electrón, obtenemos que es la misma carga, pero en sentido opuesto, la cual sería la constante de carga elemental (qe).

Rapidez de un electrón

Con esto en mente debemos retornar al modelo. Debido a que Bohr asumió un modelo circular para simplificar, entonces eso significaba que era posible emplear formulas sencillas del sistema físico llamado movimiento circular uniforme, uno de los temas más elementales de física clásica que se enseña en cualquier colegio. Por ejemplo, era posible igualar la fuerza de coulomb con la fuerza centrípeta donde la masa (m) será la masa del electrón.

Deducción de la rapidez de un electrón.

Con la fórmula anterior podemos despejar las variables necesarias para obtener la formula clásica de la energía cinética.

Deducción de la energía cinética del electrón.

El tamaño de una órbita permitida es una condición determinada por el momento angular. Las orbitas permitidas son aquellas cuyo momento angular es un valor cuantizados que depende de la variable:

En consecuencia, si tenemos la formula clásica del movimiento angular.

La masa será la masa del electrón y dicho valor será igual a h con barra multiplicado por n, se conoce como la constante de Planck reducida, constante de Dirac o  con barra, su aparición se debe a la aplicación de las leyes del movimiento circular uniforme, donde los valores dependen de la circunferencia completa o 2π. Ahora, lo que sacó a Bohr del atolladero era el hecho de que la constante de Planck para cualquier nivel energético tiene unidades de momento cinético.

La aplicación de la constante de Planck al momento cinético fue una apuesta, otro truco matemático en palabras de Planck debido a que la constante de Planck posee unidades de momento cinético aunque había que hacer la corrección para transformarla en la constante de Dirac.

El radio de la órbita de un electrón para cada nivel cuántico (n) se presenta por medio de la siguiente deducción.  Igualamos las expresiones de momento angular clásico y cuántico.

Deducción del radio de las órbitaspermitidas.

Esta fórmula estaba basada en la presunción a priori de que (n) solo puede adquirir valores discretos o cuantizados sin intermedios, en otras palabras, de la aplicación de la hipótesis de Planck.

De esta forma la órbita con el radio más pequeño correspondiente a n = 1 o radio de Bohr es un valor que se puede calcular por medio de todas las constantes:

El radio de Bohr para n = 1 permite emplearlo como una constante para calcular el radio de cualquier órbita n conocida. Debido a que esto aplicaba precisamente para átomos con un electrón, naturalmente esto describiría el tamaño del átomo de hidrógeno y sería próximo al tamaño de cualquier ion con un solo electrón.

Este modelo matemático permitía una comparación experimental, el radio del átomo de hidrógeno concordaba en el mismo orden de magnitud, lo cual fue un tremendo triunfo de su aparato matemático, pero eso no sería todo.

El cambio de energía entre dos niveles está dado por la hipótesis de Planck (ΔE=Δn h f).

La energía total del electrón es la energía necesaria para desplazarlo de su órbita, esta es igual a su energía cinética con signo negativo.

Se obtiene al combinar la constante de Dirac con la energía del electrón.

Recuerde que la constante de Rydberg era solo un artefacto experimental, pero gracias a las hábiles deducciones de Bohr quedó insertada en el modelo de átomo matemático.

De este modo una constante que había sido completamente empírica, es decir basada en datos experimentales y un truco matemático en sí misma, a ser una constante que dependía de entidades reales como la masa del electrón, su carga y otras constantes universales. El hecho mismo que se deba emplear la masa y la carga del electrón implicaban que todo el trabajo que se venía haciendo desde Balmer no era una entelequia, sino que tenía que ver con entidades físicas que existían realmente.

Cuando Bohr reemplazó sus datos y los comparó con los experimentales que ya se habían realizado años antes otros científicos, la coincidencia fue más que asombrosa. Empleando las palabras del documental el Universo Mecánico, los físicos se vieron obligados a aceptar esta batería de fórmulas como descriptoras de una realidad, no porque fueran algo fácil de aceptar, sino porque la coincidencia entre expectativa matemática y medición experimental era algo más que evidente.

Bohr extendió su modelo del átomo de hidrógeno, pero no del modo en que generalmente lo aplicamos en los ejercicios de lápiz y papel. En la extensión de Bohr lo que se buscaba era modelar elementos con un solo electrón, lo cual representaba a los isótopos del hidrogeno y iones positivos con un solo electrón como el helio(1+), el litio(2+) o el berilio(3+), los cuales se suponía que debían existir en los núcleos atómicos en estados de plasma. Bohr demostró que muchas líneas misteriosas de Fraunhofer no representaban al hidrógeno únicamente sino a otros elementos como el helio(1+). En general el número de protones en el núcleo se denomina número atómico Z. Bohr extendió el radio atómico de un átomo mediante la fórmula:

Radio atómico para cualquier numero atómico.

 


La constante de Rydberg

 


Energía de las órbitas permitidas.


Energía del electrón

 


Radio de las órbitas permitidas.

 




Momento angular cuántico en términos de la constante de Dirac.

 


Momento angular.

 


Constante de Dirac, también conocido como h partido o h con barra.

 


Energía cinética del electrón.

 

Rapidez de un electrón.

 




Fuerza gravitatoria del electrón.

 


Ley de Coulomb.

 


Ley universal de la gravedad.

 


Energía de un fotón.

 


Ecuación del efecto fotoeléctrico

 


Energía asociada a un cuanto de energía.

 


Cuantización del cambio de energía