Demostración matemática del barómetro de Torricelli || química de gases

 👉Enunciado: Demuestre el funcionamiento de un Barómetro de Torricelli a partir de la ley de la conservación de la masa. 

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👉Demostración de las ecuaciones clave: 

https://quimicadejoseleg-lamateria.blogspot.com/2022/01/barometro-manometro-aire-peso.html

👉Solución: Seguiremos la misma estrategia que históricamente usaron los matemáticos para deducir el álgebra a partir de la geometría, y es crear un modelo analógico del barómetro de Torricelli.

La ley sobre la que descansa el funcionamiento del barómetro de Torricelli es la ley de la conservación de la masa, que establece que la suma de masas iniciales es igual a la suma de masas finales.

Si multiplicamos por la aceleración gravitacional a_g a ambos lados, obtenemos que lo que se conservaría es el peso total o fuerza peso.

Y si dividimos a ambos lados entre un área constante, obtendremos que lo que se conserva es la presión.

Ahora debemos fijar cual es el punto de equilibrio donde las dos presiones se enfrentan y anulan, para nuestro barómetro es la base, donde la columna de aire choca contra la columna de mercurio más el gas que se encuentre en el interior del tubo. En este caso asumiremos que no hay gas, esta presunción se realiza por el propio diseño experimental ya que lo primero que se hace es llenar el tubo con mercurio hasta el reboce, y luego se invierte en un plato de mercurio. La idea es que el mercurio ejerce una mayor presión que la atmosfera disminuyendo su nivel hasta llegar al equilibrio.

Por tal razón, la presión de un lado solo es ejercida por el mercurio, y del otro solo es ejercida por la atmosfera.

Sin embargo, la ecuación anterior solo funcionaría si la base del tubo de mercurio se encuentra justo en el borde de la superficie del plato, algo que es muy difícil de asegurar manualmente, ¿qué pasa si el tubo nos queda sumergido?

En este caso el tubo debe tener una marca cero que, si debe asegurarse, o dibujarse justo en la superficie del plato, mientras que la parte de la columna sumergida debe ignorarse, ya que matemáticamente se cancelará de todas formas por lo que la igualdad de presiones sigue funcionando. Cuando Torricelli realizó este procedimiento, el tubo lleno de mercurio comenzó a vaciarse, pues la presión de mercurio era superior a la de la atmosfera hasta llegar al punto de equilibrio. Cuando llegó allí, midió la distancia entre la superficie y la altura de mercurio en la columna, con lo que llegó a que la presión de la atmosfera era equivalente a 760 milímetros de mercurio.

Pero esos 760 milímetros son en sentido estricto una altura h, no una presión, por lo que estamos ante una proporción, no una igualdad real. Y como es una proporción directa, pues a mayor altura de la columna, mayor es la presión de la atmosfera, esto implica que la altura esta siendo multiplicada por una constante de proporcionalidad, la pregunta es ¿Cuál constante?

Para descubrir la identidad k, comenzaremos con la definición de la presión en términos de la masa, la aceleración gravitacional y el área.

La clave ahora es tener en cuenta que el volumen de mercurio es igual a su base, es decir, el área A por su altura h.

Por lo que despejamos el área y reemplazamos.

El volumen a su vez es igual al cociente de la masa y la densidad.

Por lo que reemplazamos volumen, asumiendo que estamos daterminando la presión de mercurio. Pero luego debemos recordar que en el equilibrio, la presión de mercurio es la presión de la atmósfera.

Eso quiere decir que la constante que buscábamos era en realidad el producto de dos constantes, la densidad del mercurio y la aceleración gravitacional. Esto es importante ya que esto nos permite plantear no solo que 1 atmósfera estándar equivale a 760 milímetros de mercurio, sino que también podemos calcular su equivalente en unidades fundamentales del sistema internacional. La densidad del mercurio puede medirse con experimentos diferentes usando la definición de densidad, aunque esta es la parte más sensible del cálculo, pues el valor varía dependiendo del nivel de significancia o precisión, dependiendo de la fuente podemos tener valores como 13534 kg/m³, 13500 kg/m³, 13600 kg/m³, 13593 kg/m³, pero el valor que elegimos es 13596 kg/m³. A demás conocemos la aceleración gravitacional que a nivel del mar es de 9.80665 m/s². Por lo que tenemos todos los términos necesarios para determinar la presión de la atmósfera.

La presión de la atmósfera ideal en unidades de kg / m-s² se denomina pascal Pa.

👉Otros enunciados: como se hacen los cálculos de un barómetro de Torricelli, como se determina el pascal, como se  mide la presión atmosférica  

👉Temas: química, química general, química de gases, leyes de los gases, ecuación de estado, barómetro de Torricelli, joseleg